16. yüzyılın meşhur Fransız matematikçilerinden François Viète profesyonel bir matematikçi değildi. Gençliğinde hukuk öğrenimi görmüş ve Bretagne parlamentosunun üyesi olmuştu. Daha sonraları Kraliyet Meclisi'nin üyesi olmuş ve önce III. Henry'nin, sonra da IV. Henry'nin, yani meşhur Gemici Henry'nin hizmetine girmişti. Gemici Henry'e hizmeti sırasında, düşmanın gizli mesajlarını çözümlemede o kadar başarılı olmuştu ki, İspanya onu şeytanın müttefiki olmakla suçlamıştı. Viète yalnızca boş zamanlarını matematiğe ayırmasına rağmen, yine de aritmetiğe, cebire, trigonometriye ve geometriye önemli katkılar yapmıştı. IV. Henry'nin hizmetine girmeden önceki dönemde matematiksel incelemelerine bol vakit ayırabilmişti. Viète'in en önemli katkıları cebir alanında olmuş ve en çok bu konudaki çalışmalarıyla bugünkü çağdaş görüşlere yaklaşmıştı. Onun en önemli başarısı, denklemler kuramını geliştirmesiydi. Viète, eskiden beri çözülmeye çalışılan, ancak başarılı olunamayan bazı problemlerin üzerinde durmuş, örneğin bir açının üçe bölünmesi probleminin bir üçüncü derece denkleminin çözümüne dayandığını göstermiştir. f (x) = k (k pozitiftir) alarak, aranan kökü diğerlerinden ayırmış, sonra bu kök için yaklaşık bir değer kabul etmiş ve kök için başka bir değerin bölmeyle elde edilebileceğini göstermiştir. Bu işlemin yinelenmesi, kök için bir sonraki değeri verir; böylece devam eder. x5 - 5x3 + 500x = 7905504 denkleminde r = 20 kabul ederek, 7905504 - r5 + 5r3 - 500r bulur ve sonucu bir değere böler; denklem (f (r + s1) - f (r) - s1n (n, denklemin derecesi ve s1 bulunacak sonraki rakamın basamak birimidir) biçimini alır. Böylece, eğer aranan kök 243 ise ve r = 200 olarak alınmışsa, s1 = 10 olur; fakat eğer r = 240 olarak alınmışsa, s1 = 1 olur. r = 20 durumunda bölen 878295'dir ve bölüm kök için sonraki rakamı 4'e eşit verir. Aranan kök x = 20 + 4 = 24 bulunur. Viète'nin bu çözümünü çağdaşları hayranlıkla karşılamışlardır. Viète, denklemlerde sayıları harflerle gösteren ilk matematikçilerdendir. Pozitif ve negatif nicelikler için (+) ve (-) işaretlerini kullanmış ve sayısal denklemlerde bilinmeyen niceliği N ile, karesini Q ile ve küpünü ise C ile göstermiştir. Böylece, x3 -8x2 + 16x = 40 denklemini, "1C - 8Q +16N eşit 40" olarak yazmıştır.
Viète, trigonometriye de önemli katkılar yapmıştır. Avrupa'da ilk defa olarak sistemli bir biçimde altı tane trigonometrik fonksiyonun yardımıyla düzlem ve küresel üçgenlerin hesap yöntemlerini vermiş ve yine ilk defa cebirsel dönüşümleri trigonometriye uygulamıştır. 2cosa = x olduğunda, cos(na)'yı x'in bir fonksiyonu olarak ifade etmişken 2sina = x ve 2sin2a = y olduğunda ise, 2xn–2sin(na)'yı x ve y cinsinden ifade etmiştir.
Viète'in denklem çözümlerinde kullanmış olduğu ana yöntem, İndirgeme Yöntemi'dir. Genel üçüncü derece denklemini x3 + mx + n = 0 biçimine indirger; sonra x = (1/3 a – z2) / z kabul ederek ve denklemde yerine koyarak z6–bz3–1/27a3 = 0 elde eder. z3 = y eşitliğini benimseyerek bir ikinci derece denklemine ulaşır. Dördüncü derece denklemlerinin çözümünde de, indirgeme yöntemini kullanır.
Viète'in cebirinde, bir denklemin kökleriyle, katsayıları arasında mevcut olan ilişkilerin kısmen bilindiği anlaşılmaktadır. İkinci dereceden bir denklemde ikinci terimin katsayısı, çarpımları üçüncü terimi veren iki sayının toplamından çıkarsa, bu iki sayının denklemin kökleri olduğunu göstermiştir. Pozitif kökler hariç hepsini reddettiğinden, söz konusu ilişkileri tam olarak görmesi mümkün olmamıştır.
Ayrıca Viète, Archimedes'ten daha ileri giderek pi sayısını 9 ondalık basamağa kadar hesaplamıştır.
Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viete 'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.
Viete’nin Formülleri
Eğer
derecesi olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani sayıları kompleks, ve an sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre P(X) n (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:
Anlamı, P(X)'in k tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı (−1)kan − k / an'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):
şeklinde her yazabiliriz.
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Cebirsel Bir Denklemin Kökleri ve Katsayıları Arasındaki İlişki
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak P(X) = aX2 + bX + c şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, P(X) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:
Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.
Viete’nin Formülleri
Eğer
derecesi olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani sayıları kompleks, ve an sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre P(X) n (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:
Anlamı, P(X)'in k tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı (−1)kan − k / an'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):
şeklinde her yazabiliriz.
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Cebirsel Bir Denklemin Kökleri ve Katsayıları Arasındaki İlişki
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak P(X) = aX2 + bX + c şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, P(X) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:
Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.
